Cho tam giác ABC Điểm M,N nằm trên AB,AC sao cho \(\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=3\) Chứng minh M,N đi qua 1 điểm cố định
MẤY PRO GIÚP E VS:((((
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
19 tháng 3 2016
Đặt \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}\). Khi đó, do giả thiết ta có \(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{m}.\overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{AN}=\frac{1}{m+1}.\overrightarrow{c}\)
Suy ra \(\left(m+1\right)\overrightarrow{AN}-m\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\)
Với D là đỉnh thứ 4 của hình bình hàng ABCD, từ đó suy ra MN luôn đi qua điểm D cố định
25 tháng 2 2022
-Đường thẳng cố định :)
-Qua M,N kẻ các đường thẳng song song với BC cắt AH tại G,F.
-AI cắt BC tại H.
-Xét △MIG có: MG//NF.
\(\Rightarrow\dfrac{MI}{IN}=\dfrac{IG}{IF}\) (định lí Ta-let)
Mà \(MI=IN\) (I là trung điểm MN)
\(\Rightarrow\dfrac{IG}{IF}=\dfrac{MI}{MI}=1\Rightarrow IG=IF\).
-Xét △ABH có: MG//BH.
\(\Rightarrow\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AG}{AH}\) (định lí Ta-let) (1)
-Xét △ACH có: NF//CH.
\(\Rightarrow\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AF}{AH}\) (định lí Ta-let) (2)
-Từ (1), (2) suy ra: \(\dfrac{AG}{AH}+\dfrac{AF}{AH}=\dfrac{AM}{AB}+\dfrac{AN}{AC}=1\)
\(\Rightarrow AG+AF=AH\) mà \(AG+GH=AH\)
\(\Rightarrow AF=GH\) mà \(IG=IF\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow AF+IF=GH+IG\)
\(\Rightarrow AI=IH\) nên I là trung điểm AH.
-Hạ các đường thẳng vuông góc với BC qua A,I lần lượt tại J,K.
-Xét △AJK có: IK//AJ (do cùng vuông góc với BC).
\(\Rightarrow\dfrac{IK}{AJ}=\dfrac{IH}{AH}\) (định lí Ta-let)
Mà \(IH=\dfrac{1}{2}AH\) (H là trung điểm AI).
\(\Rightarrow\dfrac{IK}{AJ}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AH}{AH}=\dfrac{1}{2}\)
-Vậy trung điểm I của MN chạy trên đường thẳng song song với BC và cách BC một khoảng cách là \(\dfrac{1}{2}AH\) (tức là I di chuyển trên đường trung bình của △ABC ứng với cạnh BC).
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
1 tháng 12 2017
Bài 1:
Gọi E là giao điểm của phân giác AD với MN.
Qua E, kẻ đoạn thẳng IJ vuông góc với AD \(\left(I\in AB,J\in AC\right)\)
Gọi H là điểm đối xứng với M qua AD.
Ta thấy rằng \(\widehat{MEI}=\widehat{HEJ}\Rightarrow\widehat{HEJ}=\widehat{JEN}\) hay EJ là phân giác trong góc NEH.
Do \(EJ\perp EA\) nên EA là phân giác ngoài tại đỉnh E của tam giác NEH.
Theo tính chất tia phân giác trong và ngoài của tam giác, ta có:
\(\frac{NJ}{HJ}=\frac{EN}{EH}=\frac{AN}{AH}\Rightarrow\frac{\overline{NJ}}{\overline{NA}}:\frac{\overline{HJ}}{\overline{HA}}=-1\Rightarrow\left(AJNH\right)=-1\)
Áp dụng hệ thức Descartes, ta có \(\frac{2}{AJ}=\frac{1}{AH}+\frac{1}{AN}=\frac{1}{AM}+\frac{1}{AN}=\frac{3}{a}\)
\(\Rightarrow AJ=\frac{2a}{3}\)
Vậy J cố định, mà AD cố định nên IJ cũng cố định. Vậy thì E cũng cố định.
\(AJ=\frac{2a}{3}\Rightarrow AE=\frac{2.AD}{3}\) hay E là trọng tâm tam giác ABC.
Tóm lại MN luôn đi qua trọng tâm tam giác ABC.
2 tháng 12 2017
giúp em vs CMR với mọi a,b,c ta có (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)>= 3(a+b+c)^2
DY
18 tháng 1 2023
a,Xét tam giác ABN và tam giác ACM có :
AM=AN (gt)
Góc A chung
AB=AC(gt)
=> tam giác ABN = tam giác ACM (c-g-c)
b,theo câu a =>AMC^=ANB^(1)
Ta có : AM=AN =>tam giác AMN cân tại A => AMN^=ANM^(2)
Từ 1 và 2 =>MNI^=NMI^(3)
Vì B1^=C1^
B^=C^
=>B^-B1^=C-C1^
=>C2^=B2^(4)
Mặt khác : I1^=I2^(đối đỉnh) (5)
Từ 3 ; 4 và 5 => MNI^+NMI^+I1^=180*=I2^+B2^+C2^(tổng 3 góc của 1 tam giác )
=> MNI^+NMI^ / 2 = B2^+C2^ / 2
=> B2^=MNI^
Vì 2 góc này ở vị trí sole trong và bằng nhau
=> MN // BC
